Fourier... ? Eine Einführung
Nach dem Lesen dieses Artikels wirst du einen umfassenden Überblick über die Fourier-Transformation haben.
Dabei legen wir besonderen Wert darauf, dass keine voreiligen Annahmen getroffen werden und das Verständnis auf den Grundlagen der Schulmathematik aufbaut.
Es ist von großer Bedeutung, dass du aktiv beim Lernen mitwirkst und dir selbst Gedanken über den Inhalt machst. Die Entwicklung einer intuitiven Verständnisweise spielt dabei eine entscheidende Rolle, um den Inhalt plausibel nachvollziehen zu können. Aus diesem Grund werden während des Artikels immer wieder Zwischenfragen gestellt, die zum Nachdenken anregen. Diese Zwischenfragen sind wie folgt strukturiert:
Was ist ?
Es ist nicht schlimm, wenn du manche Fragen nicht sofort beantworten kannst. Man sollte jedoch versuchen die richtige Antwort nachzuvollziehen und sich plausibel zu machen.
Zudem befinden sich an manchen Stellen Anmerkungen, welche auf verschiedene Dinge hinweisen sollen:
Diese Anmerkungen sind für Ergänzungen mathematischer Natur, welche teilweise von Nutzen sein könnten.
Diese Anmerkungen sollen auf Material zum Vertiefen bzw. Nachlesen hinweisen. Dies ist jedoch nicht essentiell für das Verstehen des Artikels.
Motivation
The Fast-Fourier-Transform is the most important numerical algorithm of our lifetime.
~ Gilbert Strang (opens in a new tab), amerikanischer Mathematiker
Die Schnelle-Fourier-Transformation (bzw. FFT) ist ein Algorithmus zur sehr schnellen Durchführung einer bestimmten Art der Fourier-Transformation.
Zunächst soll jedoch geklärt werden, warum eine Fourier-Transformation so relevant ist.
In diesem Artikel wird zunächst die Fourier-Reihe betrachtet. Diese bietet umfangreiche Möglichkeiten zur Untersuchung periodischer Phänomen.
Mit der Fourier-Transformation lassen sich die Ideen der Fourier-Reihe auch auf nicht-periodische Phänomene verallgemeinern, indem man die Periodendauer gegen unendlich gehen lässt. Was das bedeutet, wird später deutlich. Die Fourier-Transformation kann auch unabhängig von der Fourier-Reihe betrachtet und verstanden werden, jedoch soll in diesem Artikel zunächst auf die Fourier-Reihe eingegangen werden und daraus die Fourier-Transformation hervorgehen.
Anwendungszwecke
Es lassen sich zahlreiche Anwendungszwecke der Fourier-Transformation bzw. sogar spezifischer, nur des Algorithmus der FFT auflisten.
| Anwendungsbereich der Fourier-Transformation | Beschreibung |
|---|---|
| Bildverarbeitung | Die Fourier-Transformation wird in der Bildverarbeitung verwendet, um das Frequenzspektrum eines Bildes zu analysieren. Dies ermöglicht zum Beispiel die Entfernung von periodischem Rauschen oder das Erkennen von Mustern und Strukturen in einem Bild. |
| Signalverarbeitung | In der Signalverarbeitung wird die Fourier-Transformation genutzt, um Signale in den Frequenzbereich zu übertragen. Dadurch können verschiedene Eigenschaften des Signals, wie Amplituden und Phasen, analysiert und verändert werden. Dies ist besonders nützlich für die Rauschunterdrückung, Filterung und Kompression von Signalen. |
| Spektralanalyse | Die Fourier-Transformation ermöglicht die Spektralanalyse von Signalen. Sie erlaubt es, die Frequenzanteile eines Signals zu bestimmen und so Informationen über die enthaltenen Frequenzen und ihre Stärke zu gewinnen. Dies wird in vielen Bereichen wie der Akustik, Elektrotechnik und Physik eingesetzt. |
| Datenkompression | Fourier-Transformationen werden in verschiedenen Kompressionsalgorithmen verwendet, um redundante Informationen in Daten zu identifizieren und zu entfernen. Durch die Umwandlung der Daten in den Frequenzbereich kann eine effiziente Kompression erreicht werden, indem weniger wichtige Frequenzanteile reduziert oder eliminiert werden. |
| Quantenmechanik | Die Fourier-Transformation spielt eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Sie ermöglicht die Darstellung von Zuständen und Operatoren im Impulsraum und erleichtert die Berechnung quantenmechanischer Effekte wie Tunneling und Wechselwirkungen. |
| und viele mehr | ... |
Ausgangsfrage
Um den Nutzen von Fourier-Reihe und Fourier-Transformation zu illustrieren, addiert man trigonometrische Funktionen (z.B. ) mit verschiedenen Parametern. Es entsteht eine Funktion, welche sich aus der Überlagerung der verschiedenen -Funktionen ergibt. Möchte man von dieser Funktion auf die ursprünglichen Anteilen zurückschließen, ist das manuell erstmal ziemlich schwierig.
Man möchte sich also ein mathematisches Werkzeug konstruieren, welches diese Zerlegung in die Frequenzbestandteile durchführt. Ein solches Werkzeug soll in diesem Artikel erklärt werden.
Kapitel 1 und 2 versuchen zunächst eine Einführung in komplexe Zahlen und komplexe Exponentialfunktionen bieten, dessen Verständnis und Interpretation essentiell für die nächsten Kapitel ist.