Kosinus-Winkelsummenidentität

Dieser Beweis erfolgt analog zur Sinus-Winkelsummen-Identität und ist hierbei hauptsächlich der Vollständigkeit halber aufgeführt. Die Schrittabfolge ist jedoch identisch.

Definitionen

Im Folgenden soll bewiesen werden, dass folgender Zusammenhang gilt:

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \tag{1}

Die Definition von $\sin$ und $\cos$ in einem rechtwinkligen Dreieck sollte bekannt sein:

\sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos(\phi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \tag{2}

Beweisskizze

Um nun $(1)$ zu beweisen, kann man ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ und daneben ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\beta$ zeichnen. Die Dreiecke sind in der Abbildung $\color{red}{\text{rot}}$ gekennzeichnet. Außerdem lassen sich einige weitere Dreiecke konstruieren, welche die Gesamtstruktur zu einem Rechteck ergänzen. Mit dem Innenwinkelsummensatz von Dreiecken lassen sich die Größen weiterer Winkel mithilfe von $\alpha$ und $\beta$ ausdrücken. Außerdem lassen sich die verschiedenen Seitenlängen beschriften.

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Innenwinkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt $180°$ . Wenn somit 2 Winkel bekannt sind, lässt sich immer auf den Dritten schließen.

Man lege nun $G=1$ fest. Nun lassen sich die Seitenlängen mit der Definition gemäß $(2)$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und $\beta$ ausdrücken.

Beweis

Aus dem unteren Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha + \beta$ und $90°$ folgt mit der Definition von $\cos$ :

\begin{equation*} \begin{split} \cos(\alpha + \beta) = \frac{C}{G} \Leftrightarrow C = G \cdot \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha+\beta) \end{split} \end{equation*}

Da in einem Rechteck, jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind ( $B= F+E$ und $A = D+C$ ) und $C= \cos(\alpha + \beta)$ , müsste man nun die Seitenlängen $A$ und $D$ herausfinden, um einen identischen Ausdruck für $\cos (\alpha + \beta)$ (mit $\cos (\alpha + \beta) = A-D$ ) zu erhalten.

Da in den beiden oberen Dreiecken, in welchen die Seitenlängen $A$ und $D$ liegen, alle Seitenlängen unbekannt sind, lassen sich zunächst die Hypotenuse $H$ und $I$ über das mittlere Dreieck mit der bekannten Seitenlänge $G=1$ ermitteln.

Für $I$ folgt mit der $\cos$ -Definition:

\begin{equation*} \begin{split} \cos (\alpha) = \frac{I}{G} \Leftrightarrow I = G \cdot \cos (\alpha) = \cos (\alpha) \end{split} \end{equation*}

Für $H$ folgt mit der $\sin$ Definition:

\begin{equation*} \begin{split} \sin (\alpha) = \frac{H}{G} \Leftrightarrow H = G \cdot \sin (\alpha) = \sin (\alpha) \end{split} \end{equation*}

Nun lassen sich $A$ und $D$ ermitteln.

Für $A$ folgt mit der $\cos$ Definition und mit dem zuvor ermittelten $I=\cos (\alpha)$ :

\begin{equation*} \begin{split} \cos (\beta) = \frac{A}{I} \Leftrightarrow A = I \cdot \cos (\beta) =\cos (\alpha) \cos (\beta) \end{split} \end{equation*}

Für $D$ folgt mit der $\sin$ Definition und mit dem zuvor ermittelten $H=\sin(\alpha)$ :

\begin{equation*} \begin{split} \sin (\beta) = \frac{D}{H} \Leftrightarrow D = H \cdot \sin (\beta) =\sin (\alpha) \sin (\beta) \end{split} \end{equation*}

Die gegenüberliegenden Seiten $A$ und $C+D$ sind gleichlang, also folgt mit den ermittelten Längen:

\begin{equation*} \begin{split} A &= C+D \\ \cos (\alpha) \cos (\beta) &= \cos(\alpha+\beta) +\sin (\alpha) \sin (\beta)\\ \Leftrightarrow \cos(\alpha + \beta)&= \cos (\alpha) \cos (\beta) - \sin (\alpha) \sin (\beta) \end{split} \end{equation*}

Dieser Ausdruck ist äquivalent zu $(1)$ . Die Aussage ist also bewiesen.

Sinus-Winkelsumme Beispiele für Fourier-Reihen