Sinus-Winkelsummenidentität

Es gibt unglaublich viele Möglichkeiten Ausdrücke von trigonometrische Funktionen zu vereinfachen bzw. umzuwandeln.

Definitionen

Im Folgenden soll bewiesen werden, dass folgender Zusammenhang gilt:

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha) \tag{1}

Die Definition von $\sin$ und $\cos$ in einem rechtwinkligen Dreieck sollte bekannt sein:

\sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos(\phi) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \tag{2}

Beweisskizze

Um nun $(1)$ zu beweisen, kann man ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ und daneben ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\beta$ zeichnen. Die Dreiecke sind in der Abbildung $\color{red}{\text{rot}}$ gekennzeichnet. Außerdem lassen sich einige weitere Dreiecke konstruieren, welche die Gesamtstruktur zu einem Rechteck ergänzen. Mit dem Innenwinkelsummensatz von Dreiecken lassen sich die Größen weiterer Winkel mithilfe von $\alpha$ und $\beta$ ausdrücken. Außerdem lassen sich die verschiedenen Seitenlängen beschriften.

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Innenwinkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt $180°$ . Wenn somit 2 Winkel bekannt sind, lässt sich immer auf den Dritten schließen.

Man lege nun $G=1$ fest. Nun lassen sich die Seitenlängen mit der Definition gemäß $(2)$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und $\beta$ ausdrücken.

Beweis

Aus dem unteren Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha+\beta$ und $90°$ folgt:

\begin{equation*} \begin{split} \sin(\alpha + \beta) = \frac{B}{G} \Leftrightarrow B = G \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha+\beta) \end{split} \end{equation*}

Da in einem Rechteck, jeweils zwei gegeüberliegende Seiten gleich lang sind ( $B= F+E$ und $A = D+C$ ) und $B= \sin(\alpha + \beta)$ , müsste man nun die Seitenlängen $F$ und $E$ herausfinden, um einen identischen Ausdruck für $\sin (\alpha + \beta)$ zu erhalten.

Da in den beiden oberen Dreiecken, in welchen die Seitenlängen $F$ und $E$ liegen, alle Seitenlängen unbekannt sind, lassen sich zunächst die Hypotenuse $H$ und $I$ über das mittlere Dreieck mit der bekannten Seitenlänge $G=1$ ermitteln.

Für $I$ folgt mit der $\cos$ -Definition:

\begin{equation*} \begin{split} \cos (\alpha) = \frac{I}{G} \Leftrightarrow I = G \cdot \cos (\alpha) = \cos (\alpha) \end{split} \end{equation*}

Für $H$ folgt mit der $\sin$ Definition:

\begin{equation*} \begin{split} \sin (\alpha) = \frac{H}{G} \Leftrightarrow H = G \cdot \sin (\alpha) = \sin (\alpha) \end{split} \end{equation*}

Nun lassen sich $F$ und $E$ ermitteln.

Für $F$ folgt mit der $\sin$ Definition und mit dem zuvor ermittelten $I=\cos (\alpha)$ :

\begin{equation*} \begin{split} \sin (\beta) = \frac{F}{I} \Leftrightarrow F = I \cdot \sin (\beta) =\cos (\alpha) \sin (\beta) \end{split} \end{equation*}

Für $E$ folgt mit der $\cos$ Definition und mit dem zuvor ermittelten $H=\sin(\alpha)$ :

\begin{equation*} \begin{split} \cos (\beta) = \frac{E}{H} \Leftrightarrow E = H \cdot \cos (\beta) =\sin (\alpha) \cos (\beta) \end{split} \end{equation*}

Die gegenüberliegenden Seiten $B$ und $F+E$ sind gleichlang, also folgt mit den ermittelten Längen:

\begin{equation*} \begin{split} B &= F+E \\ \sin (\alpha+\beta) &= \cos (\alpha) \sin (\beta) + \sin (\alpha) \cos (\beta) \end{split} \end{equation*}

Dieser Ausdruck ist äquivalent zu $(1)$ . Die Aussage ist also bewiesen.

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Hier sind sind dieser und noch weitere Beweise aufgelistet: Proofwiki: Sine of Sum (opens in a new tab)

5. Fourier-Transformation Kosinus-Winkelsumme