Fourier-Transformation

Verallgemeinerung der Fourier-Reihe

Im Abschnitt über die Fourier-Reihe, wurde die Fourier-Reihe sowie ein Zusammenhang für die Ermittlung der Fourier-Koeffizienten hergeleitet. Dabei lässt sich zwischen der Fourier-Reihe zur Synthese einer Funktion $f(t)$ mit bekannten Koeffizienten $c_k$ ,

f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{\frac{2 \pi i}{T} k t }

und der Analyse einer Funktion $f(t)$ , bzw. das Herausfinden der Fourier-Koeffizienten unterscheiden:

c_k = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t} dt

Es gibt also zwei Vorgehensweisen, welche bis jetzt bekannt sind:

Fourier-Analyse einer Funktion $f(t)$ (das Zerlegen in die Koeffizienten)
Fourier-Synthese einer Funktion $f(t)$ (das Wiederherstellen über bekannte Koeffizienten)

Beide Vorgehensweisen lassen sich auch für nicht-periodische Funktionen verallgemeinern. Die Verallgemeinerung der Fourier-Analyse ist dabei die Fourier-Transformation und die Verallgemeinerung der Fourier-Synthese die Inverse-Fourier-Transformation.

Frequenzbereich vs. Zeitbereich

Eine der wichtigsten Erkenntnisse ist die Unterscheidung zwischen Frequenzbereich und Zeitbereich. Die Fourier-Koeffizienten beschreiben letztendlich die Ausprägung des Beitrags der jeweilige zugrhörigen Frequenz.

Im sogenannte Frequenzbereich werden die Beträge der Koeffizienten in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenzen dargestellt. Es ist relevant, den Betrag zu nehmen, da es sich bei den Koeffizienten um komplexe Zahlen handelt.

Der Frequenzbereich könnte beispielsweise so aussehen:

Diese Darstellung wird auch Frequenzspektrum genannt. Interessant ist hierbei die Symmetrie, welche aus der Bedingung der komplexen konjugierten Zahlen resultiert ( $c_{-k} = \overline{c}_k$ für $k\leq 0$ ) Im Frequenzbereich lassen sich also die Beiträge der verschiedenen Frequenzen betrachten. Wichtig ist, dass der Abstand auf der horizontalen Achse jeweils $\frac{1}{T}$ entspricht.

Im Zeitbereich, was der Darstellung des Signals in Abhängigkeit der Zeit bedeutet, folgt:

Dabei ist relevant, dass die Funktion nur reelle Funktionswerte, aufgrund der Eigenschaft der kojugierten Komplexen Zahlen $c_k$ und $c_{-k}$ , annimmt. Es muss sich zudem nicht unbedingt um einen Zeitraum handelt. Es kann sich beispielsweise auch um eine Periodizität im Raum handeln.

Die obige Funktion im Zeitbereich entspricht:

f(t) = 0.2+0.6\sin \left(2 \pi \frac{1}{T} t\right) + \sin \left(2 \pi \frac{2}{T} t\right) + 1.5 \sin \left(2 \pi \frac{4}{T} t\right) + 0.5 \sin \left(2 \pi \frac{5}{T} t\right)

Wenn man die Fourier-Koeffizienten von $f(t)$ bestimmt, erhält man die obige Darstellung im Frequenzbereich.

Wichtig ist, dass sich eine Funktion $f(t)$ mithilfe der Fourier-Analyse vom Zeitbereich in den Frequenbereich transformieren lässt. Mit der Fourier-Synthese lässt sich eine Funktion $g(\frac{k}{T})$ (Abhängig von einer Frequenz) vom Frequenbereich in den Zeitbereich transformieren.

Was folgt für die Darstellung der Funktion im Frequenbereich, wenn $T$ größer wird?

Die Breite Frequenzspektrum ändert sich nicht

Das Frequenzspekturm wird schmaler

Das Frequenzspektrum wird breiter

Dadurch, dass die Frequenz invers zur Periodendauer $T$ ist, folgt, dass wenn $T$ größer wird, die Frequenzen kleiner werden. Wenn man von der Idee einer unendlichen Periodendauer ausgeht, rücken die Frequenzen also unendlich nah zusammen, da der Unterschied zwischen zwei Frequenzen im Frequenzspektrum wie beschrieben $\frac{1}{T}$ beträgt.

Das Verständis dieses inversen Zusammenhangs zwischen den beiden Bereiche wird in Bezug auf eine unendliche Periodendauer relevant: Je länger die länger die Periodendauer und somit breiter der Zeitbereich, desto enger wird das Frequenzspektrum.

Unendliche Periodendauer

Das Ziel ist es also, den Zusammenhang

c_k = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t} dt

für $T\to \infty$ zu verallgemeinern um die bekannten Techniken auch auf nicht-periodische Phänomene anzuwenden.

Für spätere Zwecke wird das Integral mit den Grenzen $0$ und $T$ zu einem Integral mit den Grenzen $-\frac{T}{2}$ und $\frac{T}{2}$ geändert. Da man lediglich den durchschnittlichen Wert innerhalb einer ganzen Periode berechnet, macht es keinen Unterschied, wann diese Periode stattfindet:

c_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t} dt

Für das Verständis ist es womöglich nützlich, nochmal auf die vorherige Interpretation dieser Berechnung zurückzublicken:

Die Funktion $f(t)$ wird als eine Addition von Zeigern (auf der komplexe Ebene) zu betrachtet.
Durch die Multiplikation mit $e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t}$ wird die Rotation mit einer Frequenz von $\frac{k}{T}$ von allen Zeigern subtrahiert.
Dadurch ist es sicher, dass alle Zeiger rotieren, außer jener, welcher zuvor mit einer Frequenz von $\frac{k}{T}$ rotierte.
Der nicht rotierende Zeiger trägt als einziger zur Verschiebung der Funktionswerte von Urpsrung bei.
Der durchschnittliche Wert von $f(t) \cdot e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t}$ in einer Periode, entspricht dieser Verschiebung vom Urpsrung und somit der Position des stehenden Zeigers ( $c_k$ )

Problem mit den Koeffizienten

Bei der Berechnung des Durchschnitt des Terms in einer Periode $f(t) \cdot e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t}$ ergibt sich jedoch ein Problem. Da man mit dem Vorfaktor $\frac{1}{T}$ multipliziert und $T \to \infty$ gelten soll, folgt, dass $c_k \to 0$ .

💡

Dadurch, dass $f(t)$ auf einem endlichen Intervall $[a,b]$ definiert ist, folgt mit der Dirichlet-Bedingung (opens in a new tab):

\left|\int_{a}^{b} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T}t} dt \right| < \int_{a}^{b} |f(t)| dt < \infty \Rightarrow \int_{a}^{b} |f(t)| dt = X

Der Koeffizient $c_k$ würde aufgrund von $\frac{1}{T}$ somit gegen $0$ gehen, wenn $T \to \infty$ . Auf diese Bedingung wurde bereits in Fourier-Reihen hingewiesen.

\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \cdot X = 0

Es funktioniert also nicht, wenn man einfach $T \to \infty$ auf den Zusammenhang für die Fourier-Koeffizienten anwendet.

Lösungsidee

Um die obige Problematik zu umgehen, lässt sich der Faktor $\frac{1}{T}$ aus dem Term

c_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t} dt

irgendwie entfernt werden. Man könnte $\frac{1}{T}$ zum Beispiel erst wieder bei der Fourier-Synthese hinzuzufügen. Es scheint zunächst so, als würde man das Problem damit nur verlagern, jedoch ergibt sich dadurch ein neuer interessanter Zusammenhang.

Neue Notation

Da man nun den Faktor $\frac{1}{T}$ aus dem Fourier-Analyse Zusammenhang weglässt, wird eine neue Notation eingeführt. Was dieses Weglassen des Faktors $\frac{1}{T}$ bedeutet, wird später deutlich. Man bezeichne eine Funktion $\hat{f}$ mit dem bekannten Zusammenhang:

\hat{f}\left(\frac{k}{T}\right) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{\frac{-2 \pi i k}{T} t} dt

Diese Funktion ist abhängig von der Frequenz $\frac{k}{T}$ und beschreibt wie zuvor, den komplexen Wert des Koeffizienten, jedoch ohne den Vorfaktor $\frac{1}{T}$ .

Für die Fourier-Synthese durch Auslagerung des Faktors $\frac{1}{T}$ :

f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}\left(\frac{k}{T}\right) e^{\frac{2 \pi i k}{T} t } \frac{1}{T}

$T$ geht gegen unendlich

Was passiert nun, wenn man $T$ gegen $\infty$ gehen lässt?

Relevant ist der Quotient $\frac{k}{T}$ , welcher aus zwei Variablen besteht, welche gegen unendlich laufen ( $k$ ist eine beliebige ganze Zahl). Dadurch, dass $k$ nur ganze Zahlen annimmt, was von der Idee ausgeht, dass man ganzzahlige Vielfache einer bestimmten Grundfrequenz hat, handelt es sich bei den verschiedenen $\frac{k}{T}$ für ein endliches $T$ um eine diskrete Größe (abzählbar). Wie oben beschrieben wird jedoch der Abstand zwischen zwei verschiedenen ganzzahligen Vielfachen $\frac{k}{T}$ und $\frac{k+1}{T}$ immer kleiner, wenn $T$ größer wird (inverser Zusammenhang zwischen Frequenzbereich und Zeitbereich). Dies ist kein mathematischer Beweis, jedoch lässt sich sagen, dass wenn nun $T\to \infty$ , ein kontinuierliches Frequenzspektrum entsteht. Sei diese Frequenz $\xi$ (xi) (um Verwechslungen mit $f$ und $\hat{f}$ zu vermeiden):

\lim_{T \to \infty} \frac{k}{T} = \xi

Es folgt somit für die Fourier-Analyse bzw. nun die Fourier-Transformation:

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 \pi i \xi t} f(t) dt

Diesen Zusammenhang findet man genau so im englischen Wikipedia-Artikel (opens in a new tab) über die Fourier-Transformation. Das Integral wird zu einem uneigentlichen Integral. Die Eigenschaft $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$ wird also relevant, da sonst das uneigentliche Integral nicht existieren würde. Dies wird jedoch in diesem Artikel nicht weiter diskutiert.

Interessant ist auch die Veränderung der Fourier-Reihe:

\begin{equation*} \begin{split} f(t) &= \lim_{T \to \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}\left(\frac{k}{T}\right) e^{\frac{2 \pi i k}{T} t } \frac{1}{T}\\ f(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2 \pi i \xi t } d\xi\\ \end{split} \end{equation*}

Die Unterschiede zwischen zwei Frequenzen $\frac{1}{T}$ werden unendlich klein. Aus diesem Grund wird die diskrete Summe, zu einem kontinuierlichen Integral. Die Unterschiede in $\xi$ sind unendlich klein ( $d \xi$ ). Dieser Zusammenhang wird auch als inverse Fourier-Transformation bezeichnet (Es lässt sich aus $\hat{f}(\xi)$ , $f(t)$ synthetisieren).

Im Folgenden soll jedoch vor allem die Fourier-Transformation betrachtet werden:

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 \pi i \xi t} f(t) dt

Es ist womöglich noch nicht ganz klar, wie sich $\hat{f}(\xi)$ verhält. Der Zusammenhang für die sogenannte Fourier-Transfomation von $f(t)$ , welche hier als $\hat{f}(\xi)$ bezeichnet wird, wurde zwar algebraisch aus dem Zusammenhang der Fourier-Koeffizienten hergeleitet, durch das Entfernen des Vorfaktors $\frac{1}{T}$ und die unendliche Periodendauer, geht womöglich die ursprüngliche Intuition über die Fourier-Koeffizienten etwas verloren.

Man sollte etwas skeptisch gegenüber der obigen Herleitung sein, da das studierte Konzept der Fourier-Reihe erweitert wurde, ohne die Interpretation der Zeigerdarstellung o.Ä. fortzusetzen. Zudem erfolgte die Herleitung womöglich etwas zu schnell.

Beispielanwendung

Häufig hilft ein Beispiel um ein neues Konzept nachzuvollziehen.

Die Fourier-Transfomation ermöglicht es ähnlich wie die Fourier-Koeffizienten, eine gegebene Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenbereich zu überführen. Dabei ist das Frequenzspektrum welches aus der Fourier-Transfomation resultiert, jedoch kontinuierlich.

Für die Fourier-Transfomation wurde hergeleitet:

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 \pi i \xi t} f(t) dt

Nun wird folgende Beispielfunktion betrachtet:

f(t) = \begin{cases} \sin(2 \pi \cdot \frac{t}{4}) & \text{wenn } -6<t<6\\ 0 & \text{sonst } \end{cases}

Es handelt sich hierbei um ein zwar nicht-periodisches Signal, welches jedoch im definierten Bereich einer $\sin$ -Funktion entspricht.

Aufstellen des Integrals

Man wende also nun die Fourier-Transfomation auf $f(t)$ an, um eine Repräsentation von $f(t)$ im Frequenbereich zu erhalten.

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 \pi i \xi t} f(t) dt

Welchen Wert nimmt das Integral im Bereich $[6,\infty]$ und $[-\infty,-6]$ an?

$0$

$1$

$\infty$

$\pi$

Da $f(t)$ außerhalb des Intervalls $]-6,6[$ $0$ ist, folgt, dass auch das Integral in diesem Bereich $0$ ist.

Visualisierung des Integrals

Um $\hat{f}(\xi)$ besser nachzuvollziehen, kann man das Integral über $e^{- 2 \pi i \xi t} f(t)$ genauer betrachten. Dies lässt sich als eine Berechnung der zwischen $x$ -Achse und $e^{- 2 \pi i \xi t} f(t)$ eingeschlossenen Fläche betrachten.

💡

Ein Integral ( $\int_{a}^{b} g(x) dx$ ) gibt die Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen von $g(x)$ im Bereich von $a$ bis $b$ an. Dabei werden Flächen oberhalb der x-Achse als positiv angesehen und Flächen unterhalb als negativ.

Wenn angenommen wird, dass $f(t) \in \mathbb{R}$ und somit ausschließlich reelle Funktionswerte annimmt, was bei obiger Funktion der Fall ist, dann ist $\Im(f(t)) = 0$ für alle $t$ .

Im Folgenden wird $\Re(e^{- 2 \pi i \xi t} f(t))$ und $\Im(e^{- 2 \pi i \xi t} f(t))$ in Abhängigkeit der Zeit $t$ dargestellt. Es gilt:

e^{- 2 \pi i \xi t} f(t) = \cos(- 2 \pi \xi t) \cdot f(t) + i \sin(- 2 \pi \xi t) \cdot f(t)

\Re(f(t) \cdot e^{- 2 \pi \xi i t}) = \color{purple}{\cos(- 2 \pi \xi t) \cdot f(t)}

\Im(f(t) \cdot e^{- 2 \pi \xi i t}) = \color{purple}{\sin(- 2 \pi \xi t) \cdot f(t)}

\text{Frequenz } \xi \approx0.23

f(t) \text{ anzeigen}

\text{Darstellung von } \hat{f}(\xi):

Es lässt sich erkennen, dass ein Maximum im Frequenzspektrum genau da entsteht, wo $\xi$ der Frequenz des $\sin$ -Terms der Funktion $f(t)$ entspricht. Es konnten also mithilfe der Fourier-Transfomation die Frequenzbestandteile eines nicht-periodischen Signals herausgefunden werden. Die Fourier-Reihe bzw. der Zusammenhang für den Fourier-Koeffizienten konnte hierbei nicht angewendet werden, da es sich nicht um einen periodische Funktion handelt ( $f(t) = f(t+T)$ gilt nicht für alle $t$ ).

🚧

Dieser Abschnitt wird womöglich noch etwas erweitert.

Ausblick: FFT

Berechtigterweise kann man sich die Frage stellen, wie man den hergeleiteten Zusammenhang in der Realität anwendet. Wenn es sich um kompliziertere Funktionen $f(t)$ handelt, wobei die Funktionsgleichung unbekannt ist und z.B. lediglich Messwerte vorhanden sind, lässt sich die Diskrete Fourier-Transfomation anwenden, welche im nächsten Kapitel erklärt wird. Wenn man die Diskrete Fourier-Transfomation mit dem Computer durchführen will, was selbstverständlich von hoher Bedeutung ist, wurden ursprünglich ziemlich viele Berechnungen benötigt. 1965 wurde eine deutlich effizietere Implementierung entdeckt: der Algorithmus der Schnellen-Fourier-Transfomation (FFT). Dieser Algorithmus gewann an viel Bedeutung und wird heute, aufgrund seiner vielfältigen Einsatzmöglichkeiten, als einer der wichtigsten Algorithmen angesehen.

4. Fourier-Reihen Sinus-Winkelsumme