Periodische Funktionen

Auf dem Weg zur Fourier-Transformation lassen sich zunächst einige Stationen wie z.B. die Fourier-Reihe betrachten. Grundlegend lässt sich mit den mathematischen Funktionen Sinus und Kosinus beginnen.

Periodizität von Sinus und Kosinus

Eine grundlegende Verbindung zwischen der Mathematik und periodischen Phänomenen, sind die periodischen Funktionen $\sin$ und $\cos$ .
Nun kann man sich fragen warum die Funktionen $\sin$ und $\cos$ überhaupt periodisch sind?
Die Periodizität von $\sin$ und $\cos$ basiert grundlegend auf der Rotationssymmetrie eines Kreises.
Bewegt man sich auf dem Rand eines Kreises, so kommt man nach einer Weile wieder am Punkt an, an welchem man gestartet ist.
Wenn man nun einen solchen Kreis mit dem Radius $r = 1$ betrachtet, so folgt für den Umfang dieses Kreises $U=2 \pi$ . Daraus folgt, dass $\sin$ und $\cos$ periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$ sind. Es folgt also:

\sin(t) = \sin(t+2\pi) \qquad \text{und}\qquad \cos(t) = \cos(t+2\pi)

Loading Unit Circle...

Es kann somit eine harmonische Schwingung erzeugt werden. Die ausführliche, trigonometrische Definition der Funktionen $\sin$ und $\cos$ soll hierbei erspart bleiben.

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Wikipedia: Sinus und Kosinus (opens in a new tab)

Parametervariation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Sinus- und Kosinusterme zu verändern, welche wahrscheinlich aus der Schulmathematik bekannt sein sollten:

f(t) = A \sin(\omega t + \Delta \varphi) \qquad \text{und} \qquad f(t) = A \cos(\omega t + \Delta \varphi)

Dabei gilt:

Parameter	Bedeutung
$\Delta \varphi$	Phasenverschiebung
$\omega$	Kreisfrequenz (Bogenmaß pro Zeit) mit $\omega = 2 \pi f$
$A$	Amplitude

Im Folgenden lassen sich die obigen Parameter variieren:

Loading Interactive Sin...

Für welche Phasenverschiebung $\Delta \varphi$ gilt $A \cdot \sin(\omega t + \Delta \varphi) = A \cdot \cos(\omega t)$ ?

$\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}$

$\Delta \varphi = \pi$

$\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$

$\Delta \varphi = - \pi$

Es existiert kein $\Delta \varphi$ , welches die gewünschte Gleichheit erzeugt.

Die $\sin$ und $\cos$ Funktionen lassen sich also umfangreich modifizieren.

Im Folgenden wird die Form

\sin (2 \pi f t + \Delta \varphi) \qquad \text{ und } \qquad \cos (2 \pi f t + \Delta \varphi)

verwendet. Der Vorteil daran ist, dass man die Frequenz $f$ direkt ablesen und somit auf die Anzahl an Perioden pro Zeiteinheit schließen kann. Zudem ist relevant, dass $f=\frac{1}{T}$ gilt, wobei $T$ der Zeit für eine Periode entspricht (Periodendauer).

Kombination von trigonometrischen Funktionen

Um nun kompliziertere periodische Vorgänge mithilfe von diesen periodischen Funktionen zu modellieren, erscheint es intuitiv, mehrere periodische Funktionen zu kombinieren.
Der erste Gedanke bei einer Kombination von mehreren Funktionswerten, könnte z.B. eine einfache Addition sein. Es lassen sich also beispielsweise mehrere $\sin$ -Funktionen addieren.
Zum Beispiel:

g(t) = \sin(2 \pi \cdot t) + 2 \sin (2 \pi \cdot 2t)+ \sin(2 \pi \cdot 9t)

Loading Addition Sample

Welche Frequenz hat die resultierende periodische Funktion?

$f= 2 Hz$

$f=1 Hz$

$f=9 Hz$

Es macht Sinn, dass die Frequenz der resultierende Periodische Funktion genau dem größten gemeinsamen Teiler der Ausgangsfrequenzen entspricht, da sich der periodische Gesamtvorgang erst wiederholen kann, wenn alle periodischen Einzelbestandteile sich gleichzeitig wiederholen.

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Der größte gemeinsame Teiler, ist die größte Zahl, durch welche zwei oder mehrere Zahlen teilbar sind. Man schreibt auch: $\text{ggT}(a,b)$

Welche Grundfrequenz hat die resultierende periodische Funktion, wenn die Teilfrequenzen: $4Hz$ , $6Hz$ , $8Hz$ sind?

$f=2 Hz$

$f=3 Hz$

$f=4 Hz$

Zusätzlich kann auch noch die Phasenverschiebung der einzelnen Terme modifiziert werden, welche jedoch in obigem Beispiel erspart bleibt.

Die verschiedenen Schwingungsbeiträge haben somit Frequenzen, welche Vielfache einer bestimmten Grundfrequenz $f_0$ sind. Diese Grundfrequenz ist die Frequenz des resultierenden periodischen Phänomens, welches aus der additiven Verknüpfung der verschiedenen Schwingungsbeiträge resultiert.

Einführung der Summenschreibweise

Es lässt sich eine kompaktere Schreibweise für die Addition der verschiedenen Sinus-Terme formulieren:

\begin{equation} f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k=1}^n A_k \cdot \sin(2 \pi k f_0 \cdot t+ \Delta \varphi_k) \end{equation}

wobei $A_k$ die Amplitude und $\Delta \varphi_k$ die Phasenverschiebung für den $k$ -ten Sinus-Term beschreibt.

Wichtig dabei ist, dass die verschiedenen Frequenzen $k \cdot f_0$ ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz $f_0$ sind. Die Namesgebung der Funktion ist möglicherweise etwas ungünstig, wenn es um Frequenzen geht, welche ebenfalls mit $f$ ausgedrückt werden.

Zusätzlich wird häufig der Term $\frac{A_0}{2}$ dazu addiert. Durch diesen kann eine Verschiebung entlang der $y$ -Achse hervorgerufen werden. Dies ist relevant, wenn beispielsweise ein periodisches Phänomen modelliert werden soll, dessen durchschnittliche Werte oberhalb der $x$ -Achse liegen.

Wie müssten die Parameter $A_k$ der Summendarstellung gewählt werden, um die oben dargestellte periodische Funktion ( $g(t) = \sin(2 \pi \cdot t) + 2\sin (2 \pi \cdot 2t)+ \sin(2 \pi \cdot 9t)$ ) darzustellen (mit $f_0 = 1Hz$ )?

$A_k = 0$ , außer $A_1 = 1, A_2 = 1,A_9 = 1$

$A_k = 0$ , außer $A_1 = 1, A_2 = 2,A_9 = 1$

alle $A_k = 1$

Überzeuge dich davon, dass jede beliebige Summe von $\sin$ -Termen durch $(1)$ ausgedrückt werden kann.

Winkelsummenidentität

Es gibt nun verschiedene praktischere und üblichere Wege den Summenausdruck $(1)$ zu schreiben. Um die Summe $2 \pi k f_0 \cdot t+ \Delta \varphi_k$ innerhalb des $\sin$ aufzulösen, lässt sich ein Zusammenhang für Winkelsummen anwenden:

\sin(\alpha+ \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)

Eine ausführliche Herleitung für diesen Zusammenhang ist bei Sinus-Winkelsummenidentität aufgeführt. Wenn man also diesen Zusammenhang auf einen der obigen Sinus-Terme anwendet und ausmultipliziert folgt:

\begin{equation} \begin{split} A_k \sin(2 \pi k f_0 t + \Delta \varphi_k) &= A_k (\sin(2 \pi k f_0 t) \cos(\Delta \varphi_k) + \sin(\Delta \varphi_k)\cos(2 \pi k f_0 t)) \\ &= A_k \sin(2 \pi k f_0 t) \cos(\Delta \varphi_k) + A_k \sin(\Delta \varphi_k)\cos(2 \pi k f_0 t) \end{split} \end{equation}

Um das Ganze etwas zu vereinfachen, soll die Summe in die Form

\begin{equation} f(t) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n a_k \cdot \cos(2 \pi k f_0 t ) + b_k \cdot \sin(2 \pi k f_0 t) \end{equation}

umgeschrieben werden. Es gilt $a_0 = A_0$ .

Für welche $a_k$ und $b_k$ ist sind die Ausdrücke $(1)$ und $(3)$ gleich? (Nutze $(2)$ )

$a_k = A_k \cdot \frac{\sin(\Delta \varphi_k)}{\cos(\Delta \varphi_k)}$ und $b_k = A_k \cdot \frac{\cos(\Delta \varphi_k)}{\sin(\Delta \varphi_k)}$

$a_k = A_k \cdot \sin(\Delta \varphi_k)$ und $b_k = A_k \cdot \cos(\Delta \varphi_k)$

$a_k = A_k \cdot \cos(\Delta \varphi_k)$ und $b_k = A_k \cdot \sin(\Delta \varphi_k)$

Die Darstellungen $(1)$ und $(3)$ lassen sich also problemlos ineinander überführen, ohne Information über die Phasenverschiebung zu verlieren oder Information hinzuzufügen. Es wird ausgenutzt, dass $\sin (\Delta \varphi_k)$ und $\cos (\Delta \varphi_k)$ konstant sind. Die Frage, warum Darstellung $(3)$ nützlich ist, wird jedoch erst im folgenden Abschnitt klar. Die Darstellung $(3)$ ist ein Zwischenschritt für das Umformen in eine noch praktikablere Darstellung: Die Darstellung mit komplexen Exponentialfunktionen.

Darstellung mit komplexen Exponentialfunktionen

Man sollte sich komplexe Zahlen und den Zusammenhang

\begin{equation} e^{x i} = \cos (x) + i \sin (x) \end{equation}

durch die vorherigen Kapitel plausibel machen.

Der bequemste und ein sehr häufiger Weg um die Summe $(1)$ bzw. $(3)$ auszudrücken ist durch eine Formulierung mithilfe komplexer Exponentialfunktionen. Das Ziel ist also, $\sin$ und $\cos$ mithilfe von $(4)$ in komplexen Exponentialfunktionen auszudrücken.

Sinus mit komplexen Exponentialfunktionen

Für die folgende Frage ist es nützlich die Antwortmöglichkeiten auf einem Blatt Papier auszuprobieren.

Wie kann $\sin (x)$ mithilfe von komplexen Exponentialfunktionen ausgedrückt werden?

$\sin (x) = \frac{e^{xi}}{i}$

$\sin (x) = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}$

$\sin (x) = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}$

$\sin (x) = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2i}$

Um $\sin (x)$ mit komplexen Exponentialfunktionen auszudrücken, macht man sich die Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zu Nutze.

\sin (x) = - \sin (-x)\qquad \text{ und } \qquad \cos (x) = \cos(-x)

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Nachlesen zur Symmetrie von $\sin$ und $\cos$ : Wikipedia: Sinus und Kosinus (Definition am Einheitskreis) (opens in a new tab)

Wenn man also nur $\sin$ alleine mithilfe von $e^{xi}$ ausdrücken will, müsste man den $\cos$ -Term loswerden. Wenn man den $\cos$ -Term rauskürzen will, könnte man den Term $\cos (x) - \cos(-x) = 0$ konstruieren.

Dies erfolgt über:

e^{xi}-e^{-xi} = \cos(x)+i \sin(x) - \cos (-x) - i \sin (-x) = 2i \sin (x)

Nun fehlt nur noch das Rauskürzen des Faktors $2i$ .

\begin{equation} \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i} = \sin (x) \end{equation}

Kosinus mit komplexen Exponentialfunktionen

Es lässt sich analog für $\cos$ verfahren.

Wie kann $\cos(x)$ mithilfe von komplexen Exponentialfunktionen ausgedrückt werden?

$\cos(x) = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}$

$\cos (x) = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{i}$

$\cos (x) = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}$

$\cos(x) = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2i}$

Um $\cos (x)$ mit komplexen Exponentialfunktionen auszudrücken, versucht man analog zum vorherigen Abschnitt, $\sin$ rauszukürzen. Wenn man also $\sin$ rauskürzen will, könnte man den Term $\sin (x) + \sin(-x) = 0$ konstruieren:

e^{xi}+e^{-xi} = \cos(x)+i \sin(x) + \cos (-x) + i \sin (-x) = 2 \cos (x)

Nun fehlt nur noch das Rauskürzen des Faktors $2$ .

\begin{equation} \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2} = \cos (x) \end{equation}

Ausdrücken der Summe mit komplexen Exponentialfunktionen

Mithilfe der obigen Übersetzung, kann nun die vorliegende Summe $(3)$ :

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k \cdot \cos(2 \pi k f_0 t ) + b_k \cdot \sin(2 \pi k f_0 t)

in komplexen Exponentialfunktionen ausgedrückt werden. Man sollte sich nicht vom Aussehen dieses Zusammenhangs abschrecken lassen. Mit einigen algebraischen Umformungsschritten folgt:

\begin{equation} \begin{split} f(t) &= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n a_k \cdot \cos(2 \pi k f_0 t ) + b_k \cdot \sin(2 \pi k f_0 t) \qquad | \text{ mit $(5)$ und $(6)$} \\ &= \frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n a_k \cdot \frac{e^{2 \pi i k f_0 t }+e^{-2 \pi i k f_0 t }}{2}+ b_k \cdot \frac{e^{2 \pi i k f_0 t}-e^{-2 \pi i k f_0 t}}{2i}\\ &=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2} e^{2 \pi i k f_0 t }+\frac{b_k}{2i} e^{2 \pi i k f_0 t}+\frac{a_k}{2} e^{-2 \pi i k f_0 t }- \frac{b_k}{2i} e^{-2 \pi i k f_0 t}\\ &=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2} e^{2 \pi i k f_0 t }+\frac{b_k \cdot i}{2i \cdot i} e^{2 \pi i k f_0 t}+\frac{a_k}{2} e^{-2 \pi i k f_0 t }- \frac{b_k \cdot i}{2i \cdot i} e^{-2 \pi i k f_0 t}\\ &=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k-b_ki}{2}\right) e^{2 \pi i k f_0 t }+\left(\frac{a_k+b_k i}{2}\right) e^{-2 \pi i k f_0 t }\\ &=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k-b_ki}{2}\right) e^{2 \pi i k f_0 t }+ \sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k+b_k i}{2}\right) e^{-2 \pi i k f_0 t }\\ \end{split} \end{equation}

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Eine Summe $\sum_{(k = 1)}^n a+b$ lässt sich aufgrund der Kommutativität und Assoziativität der Addition in $\sum_{(k = 1)}^n a + \sum_{(k = 1)}^n b$ aufspalten

Bei den Koeffizienten $\frac{1}{2}(a_k-bi)$ und $\frac{1}{2}(a_k+b_ki)$ handelt es sich also um komplexe Zahlen. Diese haben jedoch eine interessante Eigenschaft. Die Zahlen sind gleich, bis auf das Vorzeichen des Imaginärteils.

Sei $z = a+bi$ . Dann wird eine komplexe Zahl $\overline{z} = a-bi$ als konjugiert komplexe Zahl von $z$ bezeichnet. Die konjugiert komplexe Zahl zu einer komplexen Zahl $z$ wird im Folgenden als $\overline{z}$ geschrieben.

Interessant ist, dass für die Addition von konjugiert komplexen Zahlen folgt:

z+\overline{z} = a+bi+a-bi = 2a

Das Ergebnis ist also eine reelle Zahl. Dies macht auch in Bezug auf den Summenausdruck Sinn $(7)$ , da es zunächst keine komplexen Anteile im Ergebnis geben soll.

Man definiere also $c_k = \frac{1}{2}(a_k-bi)$ , woraus $\overline{c}_k = \frac{1}{2}(a_k+b_ki)$ folgt.

\begin{equation} \begin{split} f(t) &=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n c_k e^{2 \pi i k f_0 t }+ \sum_{k=1}^n \overline{c}_k e^{-2 \pi i k f_0 t }\\ &\overset{*}{=} \frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^n c_k e^{2 \pi i k f_0 t }+ \sum_{k=-n}^{-1} \overline{c}_{-k} e^{2 \pi i k f_0 t }\\ &\overset{**}{=} \sum_{k=-n}^n c_k e^{2 \pi i k f_0 t } \end{split} \end{equation}

$*$ Das negative Vorzeichen im Exponenten des Terms $e^{- 2 \pi i k f_0 t }$ lässt sich ausnutzen, um die Summe umzukehren. Das bedeutet, dass das Vorzeichen der Zählvariable (hier $k$ ) negiert wird. Dadurch lässt sich das negative Vorzeichen im Exponenten entfernen. Die Summe zählt nun von $-n$ bis $-1$ . Die Reihenfolge der Terme in der Summe ist aufgrund der Kommutativität der Addition irrelevant.

$**$ Für diesen Schritt müssen die Koeffizienten $c_k$ neu definiert werden. Zunächst galt $c_k = \frac{1}{2} (a_k - b_k i)$ . Für $k <0$ muss $c_k = \overline{c}_{-k}$ (konjugiert komplexe Zahl). Außerdem wurde $k=0$ mit in die Summe eingebunden. Dafür gab es zunächst noch keine Definition. Da der zugehörige Term der komplexen Exponentialfunktion $e^{2 \pi i \cdot 0 \cdot f_0 t} = 1$ folgt, dass $c_0$ die gleichen Eigenschaften hat wie der Term $\frac{a_0}{2}$ . Man setze also $c_0 = \frac{a_0}{2}$ .

Zusammenfassend:

c_k = \begin{cases} \frac{1}{2}(a_k - b_k i) & \text{ wenn } k > 0 \\ \frac{a_0}{2} & \text{ wenn } k = 0 \\ \overline{c}_{-k} & \text{ wenn } k < 0\\ \end{cases}

Die ursprüngliche Summe von $\sin$ -Termen, mit den ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz $f_0$ , lässt sich also mit komplexen Exponentialfunktionen als:

f(t) = \sum_{k=-n}^n c_k e^{2 \pi i k f_0 t }

schreiben. Warum diese Schreibweise praktischer ist, wird beispielsweise durch die Anzahl der Parameter deutlich. Es gibt lediglich die verschiedenen Koeffizienten $c_k$ , welche die gesamte Information über die verschiedenen Schwingungsbeiträge beinhalten. Das liegt daran, dass es sich um komplexe Zahlen handelt, und somit die Information über die Phasenverschiebung und über die Amplitude der Schwingung mit im Koeffizienten $c_k$ enthalten ist.

Ausblick: Fourier-Reihen

Die Schreibweise $f(t) = ...$ , welche in den obigen Abschnitten benutzt wurde ist fraglich. Kann denn jedes periodische Signal einer Grundfrequenz $f_0$ überhaupt mit den grundlegenden Baublöcken (trigonometrischen Funktionen) ausgedrückt werden? Gilt für alle Funktionen $f(t)$ , welche periodisches Verhalten aufweisen, also $f(t) = f(t + \frac{1}{f_0})$ , dass man:

f(t) = \sum_{k=-n}^n c_k e^{2 \pi i k f_0 t }

schreiben kann? Und wie könnte man dann auf die Koeffizienten $c_k$ schließen, wenn $f(t)$ und die Periodendauer bekannt sind?

2. Komplexe e-Funktion 4. Fourier-Reihen